Produtos Notáveis

    Existem certas expressões resultantes de produtos de outras expressões que aparecem com certa frequência na Matemática. Tais expressões são chamadas de produtos notáveis e são utilizadas principalmente na fatoração de polinômios. Essa postagem é dividida em três partes. Primeiro mostramos um vídeo sobre o assunto. Em seguida, apresentamos uma explicação. Por fim, disponibilizamos dois links para calculadoras de polinômios que podem ser úteis na demostração e correção de exercícios.

O vídeo abaixo está disponível no canal do Professor Ferretto e, além de explicar os produtos notáveis, também aborda o triângulo de Pascal.

Quadrado da soma de dois termos

(a + b)² = a² + 2ab + b²

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, somado ao dobro do primeiro multiplicado pelo segundo, somado ao quadrado do segundo.

Demonstração:

(a + b)² = (a + b) 𑇐 (a + b)

         = a 𑇐 (a + b) + b 𑇐 (a + b)

         = a² + ab + ab + b²

         = a² + 2ab + b²

Quadrado da diferença de dois termos
(a - b)² = a² - 2ab + b²
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, subtraído o dobro do produto do primeiro pelo segundo, somado ao quadrado do segundo.
Demonstração:
(a - b)² = (a - b) 𑇐 (a - b)
         = a 𑇐 (a - b) - b 𑇐 (a + b)
         = a² - ab - ab + b²
         = a² - 2ab + b²
Quadrado da soma pela diferença de dois termos
(a + b)(a - b) = a² - b²
O quadrado da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro subtraído pelo quadrado do segundo.
Demonstração:
(a + b)(a - b) = a 𑇐 (a - b) + b 𑇐 (a - b)
               = a² - ab + ab - b²
               = a² - b²

Cubo da soma de dois termos

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, somado o triplo do produto do quadrado do primeiro pelo segundo, somado ao triplo do produto do primeiro pelo quadrado do segundo, somado ao cubo do segundo.

Demonstração:

(a + b)³ = (a + b) 𑇐 (a + b) 𑇐 (a + b)
         = a 𑇐 (a + b) 𑇐 (a + b) + b 𑇐 (a + b) 𑇐 (a + b)

         = a 𑇐 (a² + 2ab + b²) + b 𑇐 (a² + 2ab + b²)

         = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

         = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Cubo da diferença de dois termos
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro, subtraído o triplo do produto do quadrado do primeiro pelo segundo termo, somado ao triplo do produto do primeiro pelo quadrado do segundo, subtraído o cubo do segundo.
Demonstração:
(a - b)³ = (a - b) 𑇐 (a - b) 𑇐 (a - b)
         = a 𑇐 (a +- b) 𑇐 (a - b) - b 𑇐 (a - b) 𑇐 (a - b)
         = a 𑇐 (a² - 2ab + b²) - b 𑇐 (a² - 2ab + b²)
         = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³
         = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Quadrado da soma de três termos
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
O quadrado da soma de três termos é igual ao quadrado do primeiro, somado ao quadrado do segundo, somado ao quadrado do terceiro, somado ao dobro de primeiro multiplicado ao segundo, somando ao dobro do primeiro multiplicado pelo terceiro, somado ao dobro do segundo multiplicado pelo terceiro.
Demonstração:
(a + b + c)² = a 𑇐 (a + b + c) + b 𑇐 (a + b + c) + c 𑇐 (a + b + c)
             = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c²
             = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Produto de 2 binômios com termo comum (Produto de Stevin)
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
Demonstração:
(x + a)(x + b) = x 𑇐 (x + b) + a 𑇐 (x + b)
               = x² + bx + ax + ab
               = x² + (a + b)x + ab

Esse produto notável pode ser útil para resolver equações de segundo grau.

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Produtos_notáveis 

Calculadoras de Polinômios

Utilize as calculadoras de polinômios disponíveis nos links abaixo para fazer a demonstração dos produtos notáveis:

• Symbolab: https://pt.symbolab.com/solver/polynomial-calculator/
• MiniMath: http://www.minimath.net/index_br.htm